什么是黎曼几何？

一、什么是黎曼几何？

Riemannian geometry 黎曼流形上的几何学。

德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。

1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。

在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。

他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。

这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。

这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。

（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。

这便是黎曼度量。

赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。

黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。

黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。

该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。

前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。

在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。

他们进一步发展了黎曼几何学。

但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。

大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。

随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。

并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。

1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。

使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。

而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。

例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。

1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。

半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。

黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

二、罗氏几何与黎曼几何的区别。要详细？

罗氏几何和黎曼几何是两种不同的几何学体系。

罗氏几何是指在平面上进行的几何学，其基本假设是存在一组笛卡尔坐标系，其中平面上的点可以用二元组 (x,y) 来表示。在罗氏几何中，直线是由两个点确定的，且直线之间的夹角等于它们所代表的向量之间的夹角。

黎曼几何则是指在曲面上进行的几何学，其基本假设是存在一组切空间，其中曲面上的点可以用切向量来表示。在黎曼几何中，直线是由两个点确定的，但直线之间的夹角不一定等于它们所代表的向量之间的夹角。

因此，罗氏几何适用于平面上的几何问题，而黎曼几何适用于曲面上的几何问题

三、神马叫黎曼几何？

比如说我给你的球面 你怎么定义两点的距离呢？ 你可以吧球面嵌入到R^3， 然后从R^3把欧几里得度量 pull back回来 对于这个特殊的情况 其实就是定义在球面的黎曼度量 就是round metric 当然这个度量可以描述球面两点距离里 和你知道的大弧长度是一样的

上面的问题可以推广到一般情况

给定了微分流形 我们可以定义很多度量（metric） 这个度量给定了相应的联络 如果联络和度量compatible， 联络又是torsion free的， 那么就是黎曼度量 黎曼度量是微分流形上唯一的compatible and torsion free的度量 这就是黎曼几何的开始的定义

四、微分几何和黎曼几何的区别？

简单的说,黎曼几何是微分几何的一个特殊情况.微分几何的研究对象是一般的微分流形,黎曼几何的研究对象是黎曼流形.黎曼流形是一种特殊的微分流形,要求流形上存在黎曼联络,一般的微分流形上则没有这样的要求.所以说,黎曼几何比微分几何的范围要窄,也相对简单一些.

五、黎曼几何又称为什么几何？

黎曼几何是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

六、欧几里德几何和黎曼几何的区别？

古希腊时期的欧氏几何，就是中学所学习的平面几何，他是用五个公理和五个公设创立的，其中最重要的一个第五公设。三角形的内角和等于180度。而黎曼几何的一个公设三角形的内角和大于80度。这就是欧氏几何和黎曼几何之间的区别。造成了两种几何涉及到平行公所得的结论不同。

七、黎曼几何难学吗？

黎曼几何是比较难学的 要学习黎曼几何先从基本的数学分析学起 黎曼几何涉及的学科较多，但总体来说是以微分几何为基础。下面罗列出一些前置内容。

1.基础数学分析：高等数学 线性代数 空间解析几何 2.微分几何：曲线和曲面论 外微分形式与活动标架 3.微分流形：张量分析 微分拓扑学 流形上的张量分析（广义相对论必学） 以上是黎曼几何的一些前置内容，学完以上即可正式进入黎曼几何阶段了。

八、黎曼几何怎么定义角度？

黎曼几何的一个公设三角形的内角和大于80度。

黎曼几何(riemannian geometry)是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。

九、黎曼几何的基本定理？

黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作 欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

十、几何与机器学习研讨会

几何与机器学习研讨会是当今数学和人工智能领域的热门话题之一。几何和机器学习在许多现代科学和工程领域都扮演着重要角色，因此了解二者之间的关系对于推动技术和理论的发展至关重要。

几何在机器学习中的应用

几何在机器学习中扮演着至关重要的角色。几何方法可以被用来处理高维数据，进行数据降维，构建模型以及可视化数据。在深度学习领域，几何概念被广泛应用于捕捉数据之间的关系，优化神经网络的结构以及改进模型的性能。

机器学习在几何中的应用

相较于几何在机器学习中的应用，机器学习在几何中的应用相对较少。然而，机器学习算法可以被用来解决几何问题，如拟合几何模型、形状识别以及几何优化等方面。机器学习的强大计算能力使其在几何问题中展现出巨大潜力。

几何与机器学习的交叉研究

近年来，越来越多的研究者开始关注几何与机器学习之间的交叉点。这种跨学科研究不仅能够推动各自领域的发展，还可以产生许多创新的思想和方法。通过几何与机器学习的结合，我们可以更好地理解数据背后的本质规律，提高模型的鲁棒性和泛化能力。

几何与机器学习研讨会

几何与机器学习研讨会为研究人员提供了一个交流和探讨的平台。在这样的研讨会上，来自不同领域的专家们可以分享他们的最新研究成果，讨论当前面临的挑战，共同探讨未来的发展方向。这种跨学科交流能够激发新的思想火花，推动学科的交叉融合。

总的来说，几何与机器学习研讨会为促进几何和机器学习领域的发展提供了重要的平台和机会。希望通过这样的学术活动，能够进一步推动两个领域之间的交流与合作，促进科学研究的不断进步与创新。